Реферат - Робота з економетрії (вирішення завдань, таблиці, графіки)

18
?=( ? t 1 x 1 (t)-18 t 1 x 1 (t) )/(? x 1 2 (t)-18 x 1 2 ) =0.3081
t=1 t=1
b 1=x 1(t)-? t 1=2.2002.
Де х 1 (t)=ln x(t), t 1 =ln t ,? 1 = ? ,b 1= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.
Дисперсію визначаємо за формулою:
n
S2= ?(x 1-x)2/( n-p-1)=1.9044
i=1
Вибірковий коефіцієнт детермінації :
n n
R=(1-(S(xi-xi)2/S(xi-x)2))1/2= 0.9095
i=1 i=1
Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:
Fp=dx2/S2=5.445,
n
де dx2= ?(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята
i=1
модель адекватна експерементальним даним.
Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
Dx1i=ta,kS/n1/2(1+(x1i-x1)2/dx12)1/2
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :
Yi±DYi=exp(Y1i±DY1i).
Складемо таблицю1.
Визначимо автокореляцію за формулою:
n n
d= ?(lt-lt-1)2/?lt2=2.425.
t=2 t=1
Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dnДля оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,
DX1p=ta,kS/n1/2(1+n+(X1i-X1)2/dx12)
а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:
Yp±DYp=exp(Y1p±DY1p)
Складемо таблицю 2.
Таблиця 1.
t
x(t)
t1
x1 (t)
x1r
xr
Dx1
xmin
xvf[
1
9,51
0
2,2523
2,2002
9,0268
2,6461
0,6402
127,267
2
11,62
0,6931
2,4527
2,4137
11,1757
1,8811
1,7034
73,3196
3
11,22
1,0986
2,4177
2,5338
12,6626
1,4754
2,8958
55,371
4
15,22
1,3863
2,7226
2,6273
13,8362
1,228
4,0522
47,2427
5
13,99
1,6094
2,6383
2,696
14,8202
1,0767
5,0498
43,4978
6
15,18
1,7918
2,72
2,7522
15,6771
0,9922
5,8123
42,2844
7
14,98
1,9459
2,7067
2,7997
16,4396
0,9561
6,3193
42,7674
8
17,88
2,0794
2,8837
2,8408
17,13
0,9541
6,5974
44,4772
9
16,78
2,1972
2,8202
2,8771
17,763
0,9753
6,6978
47,1082
10
18,94
2,3026
2,9413
2,9096
18,349
1,0114
6,6738
50,4487
11
20,98
2,3979
3,0436
2,9389
18,8958
1,0568
6,5695
54,3499
12
15,71
2,4849
2,7543
2,9657
19,4092
1,1068
6,4169
58,7071
13
20,74
2,5649
3,0321
2,9904
19,8937
1,1598
6,2377
63,446
14
24,7
2,6391
3,2068
3.0132
20,3532
1,2138
6,0463
68,5134
15
20,78
2,7081
3,034
3,0345
20,7904
1,2678
5,8514
73,8702
16
20,74
2,7726
3,0321
3,0544
21,2079
1,3212
5,6585
79,4872
17
19,75
2,8332
2,9832
3,0731
21,6077
1,3736
5,4709
85,342
Таблиця 2.
t
xlp(t)
xp(t)
Dxlp
xpmin
xpmax
19
3.1073
22.3610
7.1463
0.0176
28385.4
20
3.1231
22.7172
7.1565
0.0177
29131.4
21
3.1382
23.0612
7.1666
0.0178
29874.0
Відповідь.
З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.
Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).
Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).
Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).
Завдання 3.
Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).
Дано:
І
С(і)
D(i)
S(i)
L(i)
1
9,08
10,11
12,29
9
2
10,92
12,72
11,51
8,03
3
12,42
11,78
11,46
9,66
4
10,9
14,87
11,55
11,34
5
11,52
15,32
14
10,99
6
14,88
16,63
11,77
13,23
7
15,2
16,39
13,71
14,02
8
14,08
17,93
13,4
12,78
9
14,48
19,6
14,01
14,14
10
14,7
18,64
1625
14,67
11
18,34
18,92
16,72
15,36
12
17,22
21,22
14,4
15,69
13
19,42
21,84
18,19
17,5
Рішення:
Припустимо, що між показником Y і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Y=А1Х1+А2Х2+А3Х3 . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]a=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора a отримаємо формулу:
a=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а 2=0,151;а3=0,859.
Складемо таблицю:
І
D(i)
S(i)
L(i)
C(i)
Cроз (i)
1
1
10,11
12,29
9
9,08
10,1954
1,1154
2
12,72
11,51
8,03
10,92
9,4018
-1,5182
3
11,78
11,46
9,66
12,42
10,7376
-1,6824
4
14,87
11,55
11,34
10,9
12,3803
1,4803
5
15,32
14
10,99
11,52
12,4768
0,9568
6
16,63
11,77
13,23
14,88
14,1429
-0,7371
7
16,39
13,71
14,02
15,2
15,1
-0,1
8
17,93
13,4
12,78
14,08
14,0809
0,0009
9
19,6
14,01
14,14
14,48
15,4418
0,9618
10
18,64
16,25
14,67
14,7
16,1774
1,4774
11
18,92
16,72
15,36
18,34
16,8579
-1,4821
12
21,22
14,4
15,69
17,22
16,9296
-0,2904
13
21,84
18,19
17,5
19,42
19,0939
-0,3261
Коефіцієнт множинної детермінації:
13 13
R2=1-?(yi-yi)2/?(y-?)2=0.863
I=1 i=1
Визначимо автокореляцію за формулою:
13 13
d=?(lt–lt-1 )2/?lt2=2.0531.
t=2 t=1
Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2 . Розрахункове значення Х2 знаходимо за формулою:
Х2р=[n-1-1/6(2m+5)]ln¦[X]T [X]¦=3.1025
Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.
Відповідь:
Коефіцієнт детермінації R2=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.
Завдання 4.
Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.
T
Y(t)
k(t)
L(t)
1
54,24
4,41
11,89
2
49,56
4,97
11,04
3
52,32
6,63
11,46
4
73,92
7,39
15,56
5
67,2
7,44
15,67
6
64,44
8,31
17,44
7
80,04
8,9
15,71
8
93,12
12,12
19,91
9
95,4
14,77
16,52
10
90,54
15,06
21,54
11
116,94
14,21
17,9
Рішення:
Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:y=b0x1b1x2b2…xmbm,де y -продуктивність ; x1, x2,…, xm –впливові фактори ;b0 -нормований множник ; b1, b2, bm -коефіціенти еластичності.
Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : y=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y1=Ln(y), X1=Ln(x) та b1=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y1= b1+a X1 . Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:
n n n n n
a=(n?X1i Y1i - ? X1i ? Y1i)/(n ? X 21i - (? X1i)2 ) =0.3695
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
- -
b1=?1-a?1=1.7655,b=exp(b1)=5.8444.
Складемо таблицю:
t
Y(t)
k(t)
L(t)
x=k/l
x
y
y
y
1
54.24
4,41
11,89
0,3709
-0,9918
1,5177
1,39896
4,0651
2
49.56
4,97
11,04
0,4502
-0,7981
1,5017
1,470543
4,3516
3
52.32
6,93
11,46
0,6047
-0,503
1,5185
1,579598
4,853
4
73.92
7,39
15,56
0,4749
-0,7446
1,5583
1,490325
4,4385
5
67.20
7,44
15,67
0,4748
-0,7449
1,4559
1,490214
4,438
6
64.44
8,31
17,44
0,4765
-0,7413
1,307
1,491533
4,4439
7
80.04
8,90
15,71
0,5665
0,5682
1,6282
1,555488
4,7374
8
93.12
12,12
19,91
0,6087
-0,4964
1,5427
1,582051
4,8649
9
95.40
14,77
16,52
0,8941
-0,112
1,7535
1,724102
5,6075
10
90.64
15,06
21,54
0,6992
-0,3579
1,4359
1,633232
5,1204
11
116.94
14,21
17,9
0,7939
-0,2309
1,8769
1,68017
5,3665
Коефіцієнт множинної детермінації
11 11
R2=1-?(y1i-y1i)2/? (yl1-э1)2 =0,4370.
t=1 t=1
Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:
11 11
d = ?(lt- lt-1 )2/? lt2 = 2,4496.
t=2 t=1
Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.
Відповідь:
Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:
Y=5.8444*X0.3695
Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.
Завдання 5.
Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:
,
,
де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).
Дано:
t
C(t)
Y(t)
I(t)
1
58,8
7,3
9,22
2
67,4
9,56
13,82
3
68,9
11,1
15,02
4
80,1
12,04
17,08
5
70,45
13,34
18,94
6
84,35
13,26
20,36
7
77,25
15,4
21,56
8
81,4
13,98
22,2
9
73,35
16,86
27,56
10
77,95
15,88
30,36
11
77,65
18,98
28,14
12
82,35
17,18
31,46
Рішення.
Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто . Визначимо параметри цієї регресії:
.
Складемо таблицю:
T
C(t)
Y(t)
I(t)
C(t)Y(t)
Y2
Cr(t)
e(t)
1
58,8
7,3
9,22
429,24
53,29
65,43599
-6,63599
2
67,4
9,56
13,82
644,344
91,3936
68,79084
-1,39084
3
68,9
11,1
15,02
764,79
123,21
71,07689
-2,17689
4
80,1
12,04
17,08
964,404
144,9616
72,47227
7,627726
5
70,45
13,34
18,94
939,803
177,9556
74,40206
-3,95206
6
84,35
13,26
20,36
1118,481
175,8276
74,2833
10,0667
7
77,25
15,4
21,56
1189,65
237,16
77,46002
-0,21002
8
81,4
13,98
22,2
1137,972
195,4404
75,3521
6,047897
9
73,35
16,86
27,56
1236,681
284,2596
79,62731
-6,27731
10
77,95
15,88
30,36
1237,846
252,1744
78,17255
-0,22255
11
77,65
18,98
28,14
1473,797
360,2404
82,77434
-5,12434
12
82,35
17,18
31,46
1414,773
295,1524
80,10234
2,247663
Сумма
899,95
164,88
255,72
12551,78
2391,066
899,95
-2,6E-05
Відповідь:
Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:
C(t)=54,59952+1,484448Y(t)+e(t)
Y(t)=C(t)+I(t)